一、叉积

1、定义

设$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$是三维空间中的两个向量，则它们的差积（叉积）定义为：

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right) $$

2、运算法则

（1）反交换律

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $$

（2）分配律

$$ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} $$

（3）标量乘法结合律

$$ (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b}) $$

（4）与自身叉积为零

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} $$

3、算数证明

（1）反交换律证明

由定义：

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right) $$

而

$$ \mathbf{b} \times \mathbf{a} = \left( b_2a_3 - b_3a_2,\ b_3a_1 - b_1a_3,\ b_1a_2 - b_2a_1 \right) $$

注意到：

• $b_2a_3 - b_3a_2 = -(a_2b_3 - a_3b_2)$
• $b_3a_1 - b_1a_3 = -(a_3b_1 - a_1b_3)$
• $b_1a_2 - b_2a_1 = -(a_1b_2 - a_2b_1)$

因此

$$ \mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) $$

（2）分配律证明

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c})$展开：

设$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$，$\mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3)$，则

$$ \mathbf{b} + \mathbf{c} = (b_1 + c_1, b_2 + c_2, b_3 + c_3) $$

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c})$的第一个分量：

$$ a_2(b_3 + c_3) - a_3(b_2 + c_2) = a_2b_3 + a_2c_3 - a_3b_2 - a_3c_2 $$

同理，其他分量展开得：

$$ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1) + (a_2c_3 - a_3c_2,\ a_3c_1 - a_1c_3,\ a_1c_2 - a_2c_1) $$

即

$$ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} $$

（3）标量乘法结合律证明

$(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b}$

$$ (k a_1, k a_2, k a_3) \times (b_1, b_2, b_3) = (k a_2 b_3 - k a_3 b_2, k a_3 b_1 - k a_1 b_3, k a_1 b_2 - k a_2 b_1) = k (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) $$

同理，

$$ \mathbf{a} \times (k\mathbf{b}) = k (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) $$

（4）与自身叉积为零证明

$\mathbf{a} \times \mathbf{a}$：

$$ (a_2 a_3 - a_3 a_2, a_3 a_1 - a_1 a_3, a_1 a_2 - a_2 a_1) = (0, 0, 0) $$

即$\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$。

4、几何解释

• 差积$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$的模为：

  $$ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\,\sin\theta $$

  其中$\theta$为$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角。

• $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$的方向由右手法则确定，垂直于$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$张成的平面。
• $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$的模等于以$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$为邻边的平行四边形的面积。

二、混合积（标量三重积）

1、定义

设$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$为三维空间中的三个向量，混合积定义为：

$$ [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} $$

或行列式形式：

$$ [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} $$

2、运算法则

（1）反对称性

混合积对任意两个向量交换均变号：

$$ [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = -[\mathbf{b},\mathbf{a},\mathbf{c}] = -[\mathbf{a},\mathbf{c},\mathbf{b}] $$

（2）线性性

对任一分量线性：

$$ [k\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2,\mathbf{b},\mathbf{c}] = k[\mathbf{a}_1,\mathbf{b},\mathbf{c}] + [\mathbf{a}_2,\mathbf{b},\mathbf{c}] $$

对$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$同理。

3、算数证明

（1）反对称性证明

交换$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$：

$$ [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = -[\mathbf{b},\mathbf{a},\mathbf{c}] $$

同理，交换其他两个分量依然变号。

（2）线性性证明

对$\mathbf{a}$分量：

$$ [(k\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2), \mathbf{b}, \mathbf{c}] = ((k\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2) \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (k (\mathbf{a}_1 \times \mathbf{b}) + \mathbf{a}_2 \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = k (\mathbf{a}_1 \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} + (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = k[\mathbf{a}_1, \mathbf{b}, \mathbf{c}] + [\mathbf{a}_2, \mathbf{b}, \mathbf{c}] $$

4、几何解释

• $[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]$的绝对值等于以$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$为邻边的平行六面体的体积。
• 若$[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] = 0$，则三向量共面。