一、原假设与备择假设的定义

1、原假设（Null Hypothesis, $H_0$）

.原假设是指在进行假设检验时，最初假定被检验的参数或总体特性在某一特定值或范围内。一般认为原假设是“无效”或“无差异”的假设。例如：

$$ H_0: \mu = \mu_0 $$

意思是总体均值等于$\mu_0$。

2、备择假设（Alternative Hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$）

备择假设则是在原假设不成立时所接受的假设，通常反映研究者所关注的效应或差异。例如：

$$ H_1: \mu \neq \mu_0 $$

二、单侧检验与双侧检验的分类

1、双侧检验（Two-tailed Test）

检验的是参数是否不同于某个值，不关心方向性。例如：

$$ \begin{cases} H_0: \mu = \mu_0 \\ H_1: \mu \neq \mu_0 \end{cases} $$

2、单侧检验（One-tailed Test）

检验的是参数是否大于（右侧检验）或小于（左侧检验）某个值。

• 右侧检验（Right-tailed Test）：

  $$ \begin{cases} H_0: \mu \leq \mu_0 \\ H_1: \mu > \mu_0 \end{cases} $$

• 左侧检验（Left-tailed Test）：

  $$ \begin{cases} H_0: \mu \geq \mu_0 \\ H_1: \mu < \mu_0 \end{cases} $$

三、检验统计量与拒绝域

1、检验统计量（Test Statistic）

在假设检验中，根据样本数据构造的一个统计量，用于判断是否拒绝原假设。例如对于正态总体均值的检验，若总体方差已知，检验统计量为：

$$ Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $$

其中$\overline{X}$为样本均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。

2、拒绝域（Critical Region, Reject Region）

拒绝域是指在原假设成立的前提下，检验统计量落入该区域的概率不大于显著性水平$\alpha$的区域。若检验统计量落入拒绝域，则拒绝原假设$H_0$。

• 双侧检验拒绝域（以$Z$检验为例）：

  $$ |Z| > Z_{\alpha/2} $$

  其中$Z_{\alpha/2}$为标准正态分布的$1-\alpha/2$分位点。

• 右侧检验拒绝域：

  $$ Z > Z_\alpha $$

• 左侧检验拒绝域：

  $$ Z < -Z_\alpha $$

四、两类错误

1、第一类错误（Type I Error）

在原假设$H_0$为真时，错误地拒绝了$H_0$。其犯错概率（显著性水平）为$\alpha$。

$$ \alpha = P(\text{拒绝}~H_0 \mid H_0~\text{为真}) $$

2、第二类错误（Type II Error）

在原假设$H_0$为假时，错误地未拒绝$H_0$。其犯错概率为$\beta$。

$$ \beta = P(\text{不拒绝}~H_0 \mid H_0~\text{为假}) $$

检验的效能（Power）为$1-\beta$，表示在$H_1$为真时正确地拒绝$H_0$的概率。

五、$P$-值与统计显著性

1、$P$-值的定义

$P$-值（概率值，p-value）是在原假设$H_0$为真时，观察到的样本统计量值或更极端的结果出现的概率。形式化为：

• 双侧检验：

  $$ \text{p-value} = 2P(Z > |z_{\text{obs}}|) $$

• 右侧检验：

  $$ \text{p-value} = P(Z > z_{\text{obs}}) $$

• 左侧检验：

  $$ \text{p-value} = P(Z < z_{\text{obs}}) $$

其中$z_{\text{obs}}$为实际观测到的检验统计量值。

2、统计显著性

给定显著性水平$\alpha$（如$0.05$），若$p$-值小于$\alpha$，则结果被认为是统计学上显著的，即有足够证据拒绝$H_0$。否则，则不能拒绝$H_0$。

六、总结流程

1. 明确原假设$H_0$和备择假设$H_1$。
2. 选择适当的检验统计量，并确定其分布。
3. 给定显著性水平$\alpha$，确定拒绝域。
4. 计算观测值对应的检验统计量，并由此得出$p$-值。
5. 比较$p$-值与$\alpha$，作出结论（拒绝或不拒绝$H_0$）。