本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、$n$ 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。

一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

考虑如下方程：

$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + a_1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = 0 $$

其中 $a_0, a_1$ 为常数。

1、特征方程法

设 $y = e^{\lambda x}$，代入原方程：

$$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}e^{\lambda x} + a_1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\lambda x} + a_0 e^{\lambda x} = \lambda^2 e^{\lambda x} + a_1 \lambda e^{\lambda x} + a_0 e^{\lambda x} = 0 $$

整理得：

$$ (\lambda^2 + a_1\lambda + a_0) e^{\lambda x} = 0 $$

由于 $e^{\lambda x} \neq 0$，所以：

$$ \lambda^2 + a_1\lambda + a_0 = 0 $$

这就是特征方程。

2、特征方程的根的情况

设特征方程的根为 $\lambda_1,\lambda_2$，有三种情形：

（1）$\lambda_1 \neq \lambda_2$，且均为实根

则通解为：

$$ y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} $$

（2）$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$，为重根

则通解为：

$$ y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x} $$

（3）$\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta$，为共轭复根

则通解为：

$$ \begin{aligned} y(x) &= C_1 e^{(\alpha + i\beta)x} + C_2 e^{(\alpha - i\beta)x} \\ &= e^{\alpha x}(A \cos\beta x + B \sin\beta x) \end{aligned} $$

其中 $A,B$ 由 $C_1,C_2$ 线性组合而得。

二、$n$ 阶常系数齐次线性微分方程的解法

考虑一般形式：

$$ \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + a_{n-1} \frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = 0 $$

1、特征方程

同样设 $y = e^{\lambda x}$，代入得：

$$ \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 = 0 $$

设其 $n$ 个根为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$，重根和复根情况如下。

2、通解形式

1. 若 $\lambda_i$ 为 $k$ 重实根，则通解中对应项为：

   $$ (C_{i,1} + C_{i,2}x + \cdots + C_{i,k}x^{k-1})e^{\lambda_i x} $$

2. 若 $\lambda_{i,j} = \alpha \pm i\beta$ 为 $k$ 重复共轭复根，则通解中对应项为：

   $$ e^{\alpha x}[A_1\cos\beta x + B_1\sin\beta x + \cdots + (A_k\cos\beta x + B_k\sin\beta x)x^{k-1}] $$

3. 全部根的线性组合即为通解：

   $$ y(x) = \sum_j P_j(x)e^{\alpha_j x}\cos(\beta_j x) + Q_j(x)e^{\alpha_j x}\sin(\beta_j x) $$

   其中 $P_j(x), Q_j(x)$ 为多项式，次数不超过重根数减一。

三、常系数非齐次线性微分方程的解法

考虑一般形式：

$$ \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + a_{n-1} \frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_0 y = f(x) $$

1、通解结构

通解 $y(x) = y_c(x) + y_p(x)$，其中：

• $y_c(x)$：对应齐次方程的通解（见前述）。
• $y_p(x)$：非齐次方程的一个特解。

3、求特解 $y_p(x)$ 的方法

常用方法有待定系数法和变系数法（常称为“变参数法”或“拉格朗日变参数法”）。

（1）待定系数法

适用于 $f(x)$ 为指数函数、三角函数、多项式或它们的有限和的情形。

• 设 $f(x)$ 的形式为多项式、指数函数、三角函数的线性组合，则对应设 $y_p(x)$ 为类似形式的函数，代入方程，确定未知系数。

举例：
设 $f(x) = e^{\alpha x}$，则设 $y_p(x) = A e^{\alpha x}$，代入原方程后解 $A$。

（2）变系数法（拉格朗日变参数法）

适用于 $f(x)$ 不是简单形式，或待定系数法不适用时。

• 先求得对应齐次方程的两个线性无关解 $y_1(x), y_2(x)$。

• 设

  $$ y_p(x) = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x) $$

  其中 $u_1(x), u_2(x)$ 为待定函数。

• 根据拉格朗日法则，得

  $$ \begin{cases} u_1'(x) y_1(x) + u_2'(x) y_2(x) = 0 \\ u_1'(x) y_1'(x) + u_2'(x) y_2'(x) = f(x) \end{cases} $$

  解该方程组，积分得到 $u_1(x), u_2(x)$，最终得到 $y_p(x)$。

于是得到常系数非齐次线性微分方程的通解为：

$$ y(x) = y_c(x) + y_p(x) $$

其中 $y_c(x)$ 为对应齐次方程的通解，$y_p(x)$ 为该非齐次方程的一个特解。