一、经典物理的困境

在19世纪末，经典物理（牛顿力学、麦克斯韦电磁学）面临一系列实验事实的挑战。狭义相对论正是在这些困境下应运而生，并彻底改变了我们对时空的看法。

1、关键实验现象与问题

1. 时间膨胀实验

   • 观测：静止$\pi$介子的平均寿命为$26.0$纳秒（$\mathrm{ns}$），而以$0.913$倍光速（$0.913c$）运动的$\pi$介子寿命扩展为$63.7\mathrm{ns}$。
   • 意义：表明时间间隔并非绝对；牛顿力学无法解释这一现象，因为其认为“时间是绝对的”。

2. 长度收缩实验

   • 观测：实验室测得高速$\pi$介子的运动距离为$17.4$米，但与$\pi$介子一起运动的观测者测得的距离只有$7.1$米。
   • 意义：揭示了空间长度的相对性；经典物理认为空间坐标是绝对的，与实验观测不符。

3. 超光速导致因果律矛盾

   • 假设存在超越光速的信号，则某些事件在部分观察者看来会出现“效果早于原因”的现象，违背因果律。

4. 能量守恒的相对论问题

   • 如电子和正电子湮灭后产生辐射$e^+ + e^- \rightarrow \text{辐射}$，初态仅有静止质量能，但产生了光子的能量。经典力学无法解释能量守恒，必须引入质能关系。

二、狭义相对论的基本公设

1905年，爱因斯坦提出两条基本公设：

1. 相对性原理

   • 所有惯性参考系中的物理定律具有相同的数学形式。

2. 光速不变原理

   • 在任何惯性系中，真空中的光速 $c$ 总是相同，不依赖于光源的运动状态。

1、实验验证

• 1964年CERN实验：测量$\pi^0$介子衰变产物$\gamma$射线的速度，发现与光速$c=2.9979\times 10^8 \mathrm{m/s}$一致。
• 高能电子加速实验：无论动能多高，粒子速度都无法超过$c$。

三、爱因斯坦公设的推论

1、时间的相对性——时间膨胀

（1）光钟模型的思想实验

• 静止光钟：光在两个镜子之间垂直往返，行程为$2L_0$，用时间$\Delta t_0 = 2L_0/c$。
• 运动中的光钟：在速度为$u$的惯性系中，光做斜向往返运动。

（2）时间膨胀公式：

$$ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} = \gamma \Delta t_0 $$

其中$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$，$\beta = u/c$。

证明：
设光钟相对于观测者以速度$u$作直线运动。一次往返，光程为

$$ 2L = 2\sqrt{L_0^2 + (u\Delta t/2)^2} $$

光行进时间

$$ \Delta t = \frac{2L}{c} $$

将$L$代入，整理得

$$ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}} $$

故运动系统的时间间隔大于静止系统。

（3）实验验证：

$\pi$介子寿命实验：

$$ \Delta t = \frac{26.0\ \text{ns}}{\sqrt{1-(0.913)^2}} = 63.7\ \text{ns} $$

2、长度的相对性——长度收缩

（1）长度收缩公式：

$$ L = L_0\sqrt{1-u^2/c^2} = L_0/\gamma $$

证明：
选取运动方向上的一根棒，其静止长度为$L_0$。在地面系$S$中要测量其运动长度$L$，需在同一时刻测量棒的两端。根据洛伦兹变换，两个同时事件在棒系（$S'$）非同时，因此$L < L_0$：

$$ L = L_0\sqrt{1-u^2/c^2} $$

（2）实验验证：

$$ L = 17.4\ \text{m} \cdot \sqrt{1-(0.913)^2} = 7.1\ \text{m} $$

3、速度的相对性——速度叠加公式

（1）相对论速度叠加公式：

$$ v = \frac{v_0 + u}{1 + \frac{v_0 u}{c^2}} $$

证明：
设某物体在$S'$系速度为$v_0$，$S'$系相对于$S$以$u$运动，则在$S$中速度为

$$ v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}x'/\mathrm{d}t' + u}{1 + (u \, \mathrm{d}x'/c^2 \mathrm{d}t')} $$

代入$x'(t'), t'(t)$的洛伦兹变换推导得以上式。

（2）特性

• $v_0 = c \Rightarrow v = c$，光速恒为$c$
• $0.6c + 0.8c = 0.88c$，速度之和不会超过$c$

四、洛伦兹变换

1、洛伦兹变换方程

用于描述两个惯性参考系之间空间和时间坐标的转化，其中$S'$系相对$S$系以速度$u$沿$x$轴方向运动：

$$ \left\{ \begin{aligned} x' &= \gamma(x - ut) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \gamma\left(t - \frac{ux}{c^2}\right) \end{aligned} \right. $$

3、逆变换：

$$ \left\{ \begin{aligned} x &= \gamma(x' + ut') \\ t &= \gamma\left(t' + \frac{ux'}{c^2}\right) \end{aligned} \right. $$

3、间隔变换（适用于坐标间的差分）：

$$ \Delta x' = \gamma(\Delta x - u\Delta t) \\ \Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \frac{u\Delta x}{c^2}\right) $$

参数定义：

• 速度无量纲化：$\beta = u/c$
• 洛伦兹因子：$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$

证明：
依据光速不变和相对性原理，分析光脉冲在两个系中的传播速度，推导上述关系。

五、时空坐标的测量方法

1、同步时钟的方法

1. 在空间各点安装预置延时$t = L/c$的时钟。
2. 原点发出光信号，作为所有时钟的启动信号。
3. 光信号依次到达各点，启动对应时钟，实现时钟同步。

2、关键认识：

测量任何事件的时空坐标$(x, y, z, t)$时，必须借助这样同步的钟表。只考虑空间或仅考虑时间都不够，必须视为时空整体。

六、速度变换的一般形式

对于三维速度分量，有：

$$ \begin{cases} v_x' = \frac{v_x - u}{1 - uv_x/c^2} \\ v_y' = \frac{v_y}{\gamma(1 - uv_x/c^2)} \\ v_z' = \frac{v_z}{\gamma(1 - uv_x/c^2)} \end{cases} $$

证明：
由

$$ v_x' = \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}\,,\quad x'=\gamma(x-ut)\,,\quad t'=\gamma(t-ux/c^2) $$

计算导数得上式。

光速不变的验证：
如令$v_x = c$，则$v_x' = c$，任何惯性系中光速不变，符合第二公设。

七、洛伦兹变换的推论

1、同时性的相对性

在$S$系中两个事件如果是同时的（$\Delta t=0$），在$S'$系中则其时刻一般为

$$ \Delta t' = -\gamma \frac{u\Delta x}{c^2} \neq 0 $$

即同时性具有相对性。

2、相对论多普勒效应

频率转化关系只与相对速度有关（本节略去推导）。

3、双生子悖论

一名航天员高速旅行再返回，一名留在地球。航天员比地球人年轻，原因是旅行者存在加速过程，两个世界线不等价。实验证明：环球飞行的原子钟实测有微小效应。

4、长度收缩测量注意

必须在同一惯性系的同一时刻测两端坐标：

$$ L = L_0/\gamma $$

而非简单观测自身“变短”。

八、相对论动量

1、定义

$$ \vec{p} = \frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma m\vec{v} $$

2、证明

动量守恒要求两惯性系的定律形式一致，同时要与经典动量在低速下收敛。唯一合理选择即为上式（见Poincaré修正定理）。

3、实验支持

$\frac{p}{mv}$与速度$v$的关系由实验数据（如高能电子回旋加速器）精确符合该公式预言。

九、相对论能量与质能关系

1、动能公式

$$ K = \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2 $$

证明：

功与动能关系：

$$ \mathrm{d}K = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d}\vec{s} $$

积分即得上述表达式。

低速展开（$v \ll c$）：

$$ K \approx \frac{1}{2}mv^2 + \frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2} + \cdots $$

$v$趋近光速时，动能$K\rightarrow\infty$。

2、质能关系

（1）静能

$$ E_0 = mc^2 $$

（2）总能量

$$ E = K + E_0 = \gamma mc^2 $$

（3）能量-动量关系

$$ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 $$

证明：
由动量和能量定义通过代数运算消元$v$得上式。

3、应用举例

1. 正负电子湮灭$\to$辐射:

   $$ 2m_e c^2\rightarrow \text{光子能量} $$

2. 太阳质量亏损:

   $$ \Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}\,,\quad \Delta m \sim 4\times10^9 \mathrm{kg/s} $$

十、狭义相对论的现代意义

1. 理论基础地位

   • 狭义相对论为物理学所有领域（如粒子、原子、天体等）提供了统一的时空框架。
   • 至今所有精密实验均与其预言吻合。

2. 公设的合理性

   • 第一公设是对牛顿力学惯性系等价原理的自然推广。
   • 第二公设由“最大信号速度存在”的实验必然性推出。

3. 时空观变革

   • 放弃“绝对时空”观念，使物理定律获得更强普适性。
   • 时间和长度的变化不是事物本质变化，而是运动状态对测量结果的影响。

4. 统一性

   • 将时间与空间统一为“四维时空”连续体。
   • 质能等价$E=mc^2$标志着物质与能量的统一。
   • 为追求更高层次物理统一（如广义相对论、量子场论）树立了典范。