曲面积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲面积分（标量场的曲面积分）和第二类曲面积分（向量场的曲面积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法及其变形推导。

一、第一类曲面积分（对面积的积分）

1、定义

设$S$是空间中的一个光滑曲面，$f(x, y, z)$是在$S$上定义的标量函数。第一类曲面积分是指对$f$沿$S$的面积积分，记作：

$$ \iint_S f(x, y, z)\, \mathrm{d}S $$

其中，$\mathrm{d}S$表示曲面$S$上的面积微元。

2、几何意义

$\mathrm{d}S$是曲面$S$上一小块的面积，$f(x, y, z) \mathrm{d}S$表示这小块上的“函数值乘以面积”，整个积分就是对$S$的“加权面积”求和。

举例：

• $f(x, y, z) = 1$时，$\iint_S \mathrm{d}S$就是曲面$S$的面积。
• $f(x, y, z)$为密度时，积分为曲面的总质量。

3、曲面积分的计算方法与变形

（1）参数化形式

设$S$用参数方程表示为：

$$ \begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \\ z = z(u, v) \end{cases},\quad (u, v) \in D $$

则面积微元为

$$ \mathrm{d}S = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v $$

其中

$$ \mathbf{r}_u = \left(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}\right),\quad \mathbf{r}_v = \left(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}\right) $$

所以：

$$ \iint_S f(x, y, z)\, \mathrm{d}S = \iint_D f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))\, |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v $$

（2）投影法

假设$S$可以投影到$xy$、$yz$、$xz$平面上的一个区域$D$，且曲面可表示为$z = z(x, y)$、$x = x(y, z)$、$y = y(x, z)$等形式。下面的表示形式可以由参数化形式推导而来。

(a) $z = z(x, y)$型：

$$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y $$

其中 $z_x = \frac{\partial z}{\partial x}$, $z_y = \frac{\partial z}{\partial y}$

因此：

$$ \iint_S f(x, y, z)\, \mathrm{d}S = \iint_D f(x, y, z(x, y))\, \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y $$

(b) $x = x(y, z)$型：

$$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + x_y^2 + x_z^2}\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z $$

(c) $y = y(x, z)$型：

$$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + y_x^2 + y_z^2}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}z $$

证明：
曲面参数化：

$$ z = f(x, y) $$

则曲面参数化为

$$ \vec{r}(x, y) = (x, y, f(x, y)) $$

求微元面积$\mathrm{d}S$：
首先计算

$$ \frac{\partial \vec{r}}{\partial x} = (1, 0, f_x) \\ \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} = (0, 1, f_y) $$

叉积为

$$ \frac{\partial \vec{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & f_x \\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = (-f_x, -f_y, 1) $$

取模得

$$ \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} \right| = \sqrt{f_x^2 + f_y^2 + 1} $$

所以

$$ \mathrm{d}S = \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + 1 }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y $$

（3）隐函数型

假设曲面 $S$ 上 $F(x, y, z) = 0$，且 $F$ 在$S$上各点具有连续偏导数。若在曲面上 $F_z \neq 0$，则可用 $z$ 作为 $x, y$ 的函数，即 $z = f(x, y)$。

曲面上微元面积和微元在 $xy$ 平面投影面积之比为法向量模与 $z$ 轴夹角的余弦的倒数，或直接用法向量推导，隐函数 $F(x, y, z) = 0$ 的法向量为

$$ \vec{n}_0 = \left( F_x, F_y, F_z \right) $$

曲面微元面积

$$ \mathrm{d}S = \frac{|\vec{n}_0|}{|F_z|} \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y $$

其中

$$ |\vec{n}_0| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2} $$

所以

$$ \iint_S f(x, y, z)\, \mathrm{d}S = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \frac{\sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}}{|F_z|} \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y $$

其中$D$为曲面在$xy$平面上的投影区域。

如果$F_y \neq 0$或$F_x \neq 0$，也可以对$y$或$x$积分，形式类似。

$$ \mathrm{d}S = \frac{\sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}}{|F_x|} \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z $$

或

$$ \mathrm{d}S = \frac{\sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}}{|F_y|} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}z $$

证明：

由隐函数求导法则：

$$ F(x, y, f(x, y)) = 0 \implies F_x + F_z f_x = 0 \implies f_x = -\frac{F_x}{F_z} \\ F_y + F_z f_y = 0 \implies f_y = -\frac{F_y}{F_z} $$

代入上式：

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}S &= \sqrt{ \left(-\frac{F_x}{F_z}\right)^2 + \left(-\frac{F_y}{F_z}\right)^2 + 1 }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &= \sqrt{ \frac{F_x^2 + F_y^2}{F_z^2} + 1 }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &= \sqrt{ \frac{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}{F_z^2} }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \\ &= \frac{ \sqrt{ F_x^2 + F_y^2 + F_z^2 } }{ |F_z| } \, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \end{aligned} $$

因此，

$$ \iint_S f(x, y, z)\, \mathrm{d}S = \iint_{D_{xy}} f(x, y, f(x, y))\, \frac{ \sqrt{ F_x^2 + F_y^2 + F_z^2 } }{ |F_z| }\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y $$

其中 $D_{xy}$ 为曲面 $S$ 在 $xy$ 平面上的投影区域。

（4）雅可比行列式的平方和的方法

设曲面 $S$ 由参数 $(u, v)$ 描述，$x = x(u, v),\ y = y(u, v),\ z = z(u, v)$，则曲面微元面积：

$$ \mathrm{d}S = \left| \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v)} \right|\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v $$

但直接参数化往往不容易，针对隐函数 $F(x, y, z) = 0$，我们可以利用三个雅可比行列式的平方和公式：

$$ J_1 = \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)} $$

$$ J_2 = \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)} $$

$$ J_3 = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} $$

那么

$$ \mathrm{d}S = \sqrt{ J_1^2 + J_2^2 + J_3^2 }\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v $$

证明：

参数化向量为

$$ \vec{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) $$

则

$$ \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} = (x_u, y_u, z_u), \quad \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} = (x_v, y_v, z_v) $$

两者叉积：

$$ \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix} $$

$$ = \left( y_u z_v - z_u y_v,\ z_u x_v - x_u z_v,\ x_u y_v - y_u x_v \right ) $$

所以

$$ \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \right | = \sqrt{ (y_u z_v - z_u y_v)^2 + (z_u x_v - x_u z_v)^2 + (x_u y_v - y_u x_v)^2 } $$

而

$$ \begin{aligned} J_1 = \frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)} = y_u z_v - z_u y_v \\ J_2 = \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)} = z_u x_v - x_u z_v \\ J_3 = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = x_u y_v - y_u x_v \end{aligned} $$

因此

$$ \mathrm{d}S = \sqrt{ J_1^2 + J_2^2 + J_3^2 }\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v $$

（5）极坐标参数化（如球面、柱面）

• 球面：$x = a\sin\varphi\cos\theta,\, y = a\sin\varphi\sin\theta,\, z = a\cos\varphi$, $\varphi \in [0, \pi]$, $\theta \in [0, 2\pi]$

  $$\mathrm{d}S = a^2 \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$$

• 柱面：$x = a\cos\theta,\, y = a\sin\theta,\, z = z$, $\theta \in [0, 2\pi]$, $z \in [z_1, z_2]$

  $$\mathrm{d}S = a\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z$$

下面是证明过程：

（1）球面面积元$\mathrm{d}S$的推导

设有半径为$a$的球面，其参数方程为

$$ \begin{cases} x = a \sin\varphi \cos\theta \\ y = a \sin\varphi \sin\theta \\ z = a \cos\varphi \end{cases} $$

其中$\varphi \in [0, \pi]$为极角，$\theta \in [0, 2\pi]$为方位角。

步骤1：写出球面上点的参数化向量

$$ \mathbf{r}(\varphi, \theta) = \left( a \sin\varphi \cos\theta,\ a \sin\varphi \sin\theta,\ a \cos\varphi \right) $$

步骤2：分别对参数$\varphi$和$\theta$求偏导

对$\varphi$求偏导：

$$ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} = \left( a \cos\varphi \cos\theta,\ a \cos\varphi \sin\theta,\ -a \sin\varphi \right ) $$

对$\theta$求偏导：

$$ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left( -a \sin\varphi \sin\theta,\ a \sin\varphi \cos\theta,\ 0 \right ) $$

步骤3：计算这两个向量的叉积

记

$$ \mathbf{A} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} = \left( a \cos\varphi \cos\theta,\ a \cos\varphi \sin\theta,\ -a \sin\varphi \right ) $$

$$ \mathbf{B} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left( -a \sin\varphi \sin\theta,\ a \sin\varphi \cos\theta,\ 0 \right ) $$

计算叉积$\mathbf{A} \times \mathbf{B}$：

$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a\cos\varphi\cos\theta & a\cos\varphi\sin\theta & -a\sin\varphi \\ -a\sin\varphi\sin\theta & a\sin\varphi\cos\theta & 0 \end{vmatrix} $$

计算每一分量：

• $\mathbf{i}$ 分量：

  $$ a\cos\varphi\sin\theta \cdot 0 - (-a\sin\varphi) \cdot a\sin\varphi\cos\theta = a^2\sin^2\varphi\cos\theta $$

• $-\mathbf{j}$ 分量：

  $$ a\cos\varphi\cos\theta \cdot 0 - (-a\sin\varphi) \cdot (-a\sin\varphi\sin\theta) = -a^2\sin^2\varphi\sin\theta $$

• $\mathbf{k}$ 分量：

$$ \begin{aligned} a\cos\varphi\cos\theta \cdot a\sin\varphi\cos\theta - a\cos\varphi\sin\theta \cdot (-a\sin\varphi\sin\theta)\\ = a^2\cos\varphi\sin\varphi(\cos^2\theta + \sin^2\theta ) = a^2\cos\varphi\sin\varphi \end{aligned} $$

因此

$$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( a^2\sin^2\varphi\cos\theta,\ -a^2\sin^2\varphi\sin\theta,\ a^2\cos\varphi\sin\varphi \right ) $$

步骤4：取模（即为面积元）

$$ \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right| = \sqrt{ \left(a^2\sin^2\varphi\cos\theta\right)^2 + \left(-a^2\sin^2\varphi\sin\theta\right)^2 + \left(a^2\cos\varphi\sin\varphi\right)^2 } $$

$$ = a^2 \sqrt{ \sin^4\varphi \cos^2\theta + \sin^4\varphi \sin^2\theta + \cos^2\varphi \sin^2\varphi } $$

$$ = a^2 \sqrt{ \sin^4\varphi (\cos^2\theta + \sin^2\theta ) + \cos^2\varphi \sin^2\varphi } $$

$$ = a^2 \sqrt{ \sin^4\varphi + \cos^2\varphi \sin^2\varphi } $$

$$ = a^2 \sqrt{ \sin^2\varphi ( \sin^2\varphi + \cos^2\varphi ) } $$

$$ = a^2 \sqrt{ \sin^2\varphi \cdot 1 } = a^2 \sin\varphi $$

步骤5：写出面积元

$$ \mathrm{d}S = \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right| \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta = a^2 \sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta $$

（2）柱面面积元$\mathrm{d}S$的推导

设有半径为$a$的柱面，其参数方程为

$$ \begin{cases} x = a \cos\theta \\ y = a \sin\theta \\ z = z \end{cases} $$

其中$\theta \in [0, 2\pi]$，$z \in [z_1, z_2]$。

步骤1：参数化向量

$$ \mathbf{r}(\theta, z) = \left( a \cos\theta,\ a \sin\theta,\ z \right ) $$

步骤2：分别对参数$\theta$和$z$求偏导

对$\theta$求偏导：

$$ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left( -a \sin\theta,\ a \cos\theta,\ 0 \right ) $$

对$z$求偏导：

$$ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \left( 0,\ 0,\ 1 \right ) $$

步骤3：计算这两个向量的叉积

$$ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ - a \sin\theta & a \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

计算各分量：

• $\mathbf{i}$ 分量：

  $$ a \cos\theta \cdot 1 - 0 \cdot 0 = a \cos\theta $$

• $-\mathbf{j}$ 分量：

  $$ -(-a \sin\theta \cdot 1 - 0 \cdot 0 ) = a \sin\theta $$

• $\mathbf{k}$ 分量：

  $$

• a \sin\theta \cdot 0 - a \cos\theta \cdot 0 = 0

  $$

所以

$$ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \left( a \cos\theta,\ a \sin\theta,\ 0 \right ) $$

步骤4：取模

$$ \left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} \right| = \sqrt{ (a\cos\theta)^2 + (a\sin\theta)^2 + 0^2 } = a \sqrt{ \cos^2\theta + \sin^2\theta } = a $$

步骤5：写出面积元

$$ \mathrm{d}S = a\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z $$

二、第二类曲面积分（向量场对面的积分）

1、定义

设$\mathbf{F} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$是定义在曲面$S$上的连续向量场，$\mathbf{n}$为$S$上单位法向量，则第二类曲面积分是$\mathbf{F}$在法向方向的“通量”，记作：

$$ \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n})\, \mathrm{d}S $$

其中，$\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathbf{n}\,\mathrm{d}S$是带有方向的面积微元。

2、物理与几何意义

若$\mathbf{F}$为速度场，积分表示流体穿过$S$的体积流量。$\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}$为通过$\mathrm{d}S$的流量密度，积分为总流量。

3、曲面积分的计算公式

（1）参数化形式

同第一类，$S$用参数方程

$$ \mathbf{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),\quad (u, v)\in D $$

带方向面积元：

$$ \mathrm{d}\mathbf{S} = (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v $$

所以：

$$ \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v $$

（2）投影法

当$S$由$z = f(x, y)$给出，取外法线指向$z$轴正向，则

$$ \iint_S \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{D_{xy}}\left[ -P(x, y, f(x, y)) \frac{\partial f}{\partial x} - Q(x, y, f(x, y)) \frac{\partial f}{\partial y} + R(x, y, f(x, y)) \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

• 若$S$投影到$yz$面，$x = x(y, z)$，则

  $$ \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_D \left[P(x(y, z), y, z) + Q(x(y, z), y, z)(-x_y) + R(x(y, z), y, z)(-x_z) \right]\, \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z $$

• 若$S$投影到$xz$面，$y = y(x, z)$，则

  $$ \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_D \left[P(x, y(x, z), z)(-y_x) + Q(x, y(x, z), z) + R(x, y(x, z), z)(-y_z) \right]\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}z $$

  证明：
  参数化曲面：

  $$ \vec{r}(x, y) = (x, y, f(x, y)) $$

  计算面积元向量：

  $$ \frac{\partial \vec{r}}{\partial x} = (1, 0, f_x) \\ \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} = (0, 1, f_y) $$

  叉积为

  $$ \frac{\partial \vec{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & f_x \\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = (-f_x, -f_y, 1) $$

  所以面积微元向量为

  $$ \mathrm{d}\vec{S} = (-f_x, -f_y, 1)\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

  代入曲面积分：

  $$ \iint_S \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{D_{xy}} \vec{F}(x, y, f(x, y)) \cdot (-f_x, -f_y, 1)\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ = \iint_{D_{xy}} \left[ -P f_x - Q f_y + R \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

  这就是投影到$xy$平面的投影法。

（3）隐函数型

若$S$由$F(x, y, z) = 0$描述，在$F_z \ne 0$时，可用$z$作$x, y$的函数。则

$$ \iint_S \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{D_{xy}} \left[ -P(x, y, z) \frac{F_x}{F_z} - Q(x, y, z) \frac{F_y}{F_z} + R(x, y, z) \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

其中$z$由$F(x, y, z) = 0$确定。
或向量形式：

$$ \iint_S \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{D_{xy}} \vec{F}(x, y, z) \cdot \left( -\frac{F_x}{F_z}, -\frac{F_y}{F_z}, 1 \right) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

证明：

隐函数 $F(x, y, z) = 0$ 的法向量

$$ \vec{n}_0 = (F_x, F_y, F_z) $$

外法线方向单位向量

$$ \vec{n} = \frac{(F_x, F_y, F_z)}{\sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}} $$

面积元的模

$$ \mathrm{d}S = \frac{ \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2} }{ |F_z| } \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

面积元向量

$$ \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n}\, \mathrm{d}S = \frac{ (F_x, F_y, F_z) }{ |F_z| } \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

方向取决于曲面定向，通常取$F_z > 0$为正向。
向量场与面积元点积

$$ \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \vec{F}(x, y, z) \cdot \frac{ (F_x, F_y, F_z) }{ |F_z| } \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

若只关心积分值，可以去掉模号（由定向保证）：

$$ = \vec{F}(x, y, z) \cdot \frac{ (F_x, F_y, F_z) }{ F_z } \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

即

$$ = \left[ P(x, y, z) \frac{F_x}{F_z} + Q(x, y, z) \frac{F_y}{F_z} + R(x, y, z) \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

但面积元向量与$xy$平面单位法向量$(0, 0, 1)$方向一致时，$F_z > 0$，因此对于外法线指向$z$轴正向时，$F_z > 0$，有

$$ \iint_S \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{D_{xy}} \left[ -P(x, y, z) \frac{F_x}{F_z} - Q(x, y, z) \frac{F_y}{F_z} + R(x, y, z) \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

注：这里的负号来自隐函数偏导与$z=f(x, y)$下的关系。

下面研究一下负号的来源

对$F(x, y, z(x, y)) = 0$，有

$$ F_x + F_z \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} \\ F_y + F_z \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} $$

代入显式曲面公式

$$ \iint_{D_{xy}} \left[ -P \frac{\partial z}{\partial x} - Q \frac{\partial z}{\partial y} + R \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

得

$$ \iint_{D_{xy}} \left[ -P \left( -\frac{F_x}{F_z} \right ) - Q \left( -\frac{F_y}{F_z} \right ) + R \right ] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_{D_{xy}} \left[ P \frac{F_x}{F_z} + Q \frac{F_y}{F_z} + R \right ] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

但通常投影法公式写为负号形式，以保持与法向一致，故：

$$ \iint_S \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_{D_{xy}} \left[ -P \frac{F_x}{F_z} - Q \frac{F_y}{F_z} + R \right ] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

（4）立体角法（球面）

对于球面$S$，$\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathbf{n}\,\mathrm{d}S$，如单位球面$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$，可直接代入参数化形式。

（5）柱面、球面参数化

• 球面：

  $$ x = a\sin\varphi\cos\theta,\quad y = a\sin\varphi\sin\theta,\quad z = a\cos\varphi $$

$$ \mathrm{d}\mathbf{S} = a^2 \sin\varphi\, \mathbf{n}\, \mathrm{d}\varphi\, \mathrm{d}\theta,\quad \mathbf{n} = \left(\sin\varphi\cos\theta,\, \sin\varphi\sin\theta,\, \cos\varphi\right) $$

• 柱面：

  $$ x = a\cos\theta,\, y = a\sin\theta,\, z = z $$

$$ \mathrm{d}\mathbf{S} = a\, \mathbf{n}\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}z $$

其中$\mathbf{n}$为柱面外法向。

三、第二类曲面积分方向（正负）判别方法原理

1、法向定向的基本原则

• 曲面积分的方向 由面积元向量 $\mathrm{d}\vec{S}$ 决定。
• $\mathrm{d}\vec{S}$ 的方向就是曲面的定向（外法线或内法线），而 $\mathrm{d}\vec{S}$ 的模就是面积微元。

• 投影到 $xy$ 平面时，$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 始终指向 $z$ 正方向（即$(0,0,1)$）。

  2、显式曲面 $z = f(x, y)$ 情况

  参数化：

  $$ \vec{r}(x, y) = (x, y, f(x, y)) $$

  面积元向量：

  $$ \mathrm{d}\vec{S} = (-f_x, -f_y, 1)\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

  其方向与 $z$ 轴的夹角由 $1$（第三分量）决定。
  如果曲面的定向就是 $z$ 轴正方向，即“向上”，则面积元向量的第三分量为正，投影法中公式保持原样：

  $$ \iint_{D_{xy}} \left[ -P f_x - Q f_y + R \right]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

  如果曲面的定向为 $z$ 轴负方向，即“向下”，则面积元向量要取反，公式前整体加负号：

  $$ \iint_{D_{xy}} \left[ P f_x + Q f_y - R \right]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

  3、隐函数 $F(x, y, z)=0$ 情况

  面积元向量：

  $$ \vec{n}_0 = (F_x, F_y, F_z) $$

  向量

  $$ \mathrm{d}\vec{S} = \frac{(F_x, F_y, F_z)}{|F_z|} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

  （假设用$z$作参数）

• 若取定向使得 $\mathrm{d}\vec{S}$ 的 $z$ 分量为正（即与 $z$ 轴正方向一致），则 $F_z > 0$ 时，投影法中的负号保持。

• 若定向与 $z$ 轴负方向一致（$F_z<0$），则面积元向量方向与投影面法向相反，整个公式前加负号。

  4、判别正负号的具体操作

  步骤如下：

1. 判断曲面定向（外法线方向）——题目会给定，或根据物理含义判断。

2. 计算面积元向量与投影面（如$xy$平面，法向$(0,0,1)$）法向的夹角：

   • 若同向（$z$分量为正），则公式中负号不变。
   • 若反向（$z$分量为负），则公式前加负号，负号方向全部反过来。

3. 隐函数情形，可直接看$F_z$的正负，若$F_z > 0$则用

   $$ \left[ -P \frac{F_x}{F_z} - Q \frac{F_y}{F_z} + R \right] $$

   若$F_z < 0$则用

   $$ \left[ P \frac{F_x}{F_z} + Q \frac{F_y}{F_z} - R \right] $$

   或者说整体乘以$-1$。

   5、公式总结

   （1）显式曲面 $z=f(x, y)$

4. 向上（$z$正向）：

   $$ \iint_{D_{xy}} [ -P f_x - Q f_y + R ]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

5. 向下（$z$负向）：

   $$ \iint_{D_{xy}} [ P f_x + Q f_y - R ]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

   （2）隐函数 $F(x, y, z) = 0$

6. $F_z > 0$（与$z$正方向一致）：

   $$ \iint_{D_{xy}} [ -P \frac{F_x}{F_z} - Q \frac{F_y}{F_z} + R ]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

7. $F_z < 0$（与$z$负方向一致）：

   $$ \iint_{D_{xy}} [ P \frac{F_x}{F_z} + Q \frac{F_y}{F_z} - R ]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$

   或者直接记为（$n$为面积元向量，与投影面法向夹角为$\theta$）：

   $$ \text{投影法公式} = (\text{通常公式}) \times \operatorname{sgn}(\cos\theta) $$