引言

数学粗略地说是由三个大的分支组成：几何学、代数学和分析学。他们都离不开数这个基本概念。例如从“微积分”开始的分析学，是建立在严格的极限理论基础上的，而这一理论所依赖的就是实数体系的连续性。因此，要学好数学，必须先学习数的理论。

一、素数

1、素数的定义与检验

素数在数中占有异乎寻常的地位，素数的理论初步建立在欧几里得的《几何原本》之中。定义为一个大于$1$的自然数，如果除了$1$和其自身外，不能被其他自然数整除，则称此自然数为素数（质数），否则称为合数。例如：$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47......$都是素数。

【注】$0$和$1$既不是素数，也不是合数。

检验素数的基本方法：用$2$到$\sqrt{n}$ 之间的所有整数去除$n$，均无法整除，则$n$为素数。

2、素数的性质

定义：若只有1能同时整除自然数$M$与$N$，即不存在大于$1$的自然数同时整除$M$与$N$, 则称$M$与$N$为互素的（或互质的）。

定理1： 互素的两个自然数是与它们有同比自然数对中最小的。即：设$m,n,p,q$为自然数，如果$\frac pa=\frac mn$,且$p,q$互素，则$p\leq m,q\leq n$.

定理2：（欧几里得引理）若素数$p$整除两自然数之积$ab$(记为$p\mid ab$ ),则$p\mid a$（$p$整除$a$）或$p\mid b$（$p$整除$b$）.

定理3：（裴蜀定理）若$a,b$是整数，且它们的最大公约数$\gcd(a,b)=d$，那么对于任意的整数$x$和$y$，整数$ax+by$必是$d$的倍数。特别地，一定存在整数$x,y$，使$ax+by=d$成立。
推论：$a,b$互素的充分必要条件是存在整数$x,y$使$ax+by=1$

例1：求平面上整点(两个坐标皆为整数的点)到直线$y=\frac{5}{3}x+\frac{4}{5}$的距离的最小值。

解：由点到直线的距离公式知整点$(m,n)$到$y=\frac53x+\frac45$的距离为，而$\gcd(25,15)=5$由裴蜀定理知$25m-15n$为$5$的倍数，所以当$25m-15n=-10$ 时，$d$取最小值：
$$d_{\min}=\frac{2}{5\sqrt{34}}=\frac{\sqrt{34}}{85}$$

定理4：（算术基本定理）任何一个大于$1$的自然数$N$，如果不是素数，那么$N$可以唯一分解为有限个素数的乘积：$N= p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{n}^{a_{n}}$ ，其中$0<p_1<p_2<\cdots<p_n$为素数，指数$a_i(i=1,2,\cdots,n)$为正整数。例如$12=2^{2}\times3$，$60=2^{2}\times3\times5$，$15246=2\times3^{2}\times7\times11^{2}$等等。

定理5：素数有无穷多个。

证明：用反证法。假设素数只有有限多个，设为$k$个：$p_1,p_2,\cdots,p_k$.
记$N=p_1p_2\cdots p_k$，有$N+1>p_i\left(i=1,2,\cdots,k\right)$.
那么：
若$N+1$为素数，则与“素数只有$k$个”矛盾；
若$N+1$为合数 , 则$N+1$可分解为若干个比它小的素数之积，而$N+1$不可能被 $p_{i}( i= 1, 2, \cdots , k)$整 除，所以还存在不同于$p_{i}( i= 1, 2, \cdots , k)$的素数，这又与“素数只有$k$个”这个假设矛盾。
综上可得，素数有无穷多个。

3、孪生素数和哥德巴赫猜想

相差$2$的两个素数称为孪生素数。例如：$3$和$5$，$11$和$13$，$17$和$19$，$41$和$43$等等。“存在无穷多对孪生素数”这就是著名的孪生素数猜想，至今未得到证明，但数学家们相信这是正确的。

数论是数学的一个重要分支，主要研究整数性质以及和它有关的规律与理论。数论研究中最著名的猜想应该是“哥德巴赫猜想"了。1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了：“任一大于$2$的偶数都可表示成两个素数之和。"这就是著名的哥德巴赫猜想，我们常常简称为“1+1”。

三、有理数和无理数

1、有理数的性质

1. 有理数四则运算的封闭性：有理数与有理数进行加减乘除运算后还是有理数。
2. 有理数的稠密性：任意两个不同的有理数之间存在无数个有理数。

3. 有理数的可公度性：所谓可公度量，亦称为可通约量，是数学的基本概念之一，指两个同是第三个量的整数倍的量.对于两个量$A$与$B$,若存在第三个量$C$, 使$A=pC,B=qC$同时成立，这里$p,q$为自然数，则称量$A$与量$B$可公度或可通约，且称$C$是A与$B$ 的一个公度，这时称$A$与$B$ 是可公度量或可通约量.若不存在自然数 $p,q$ 与量$C$,使$A=pC,B=qC$ 成立，则称$A$与$B$ 是不可公度或不可通约，这时$A,B$是不可公度量或不可通约量。

   任意两个有理数$r_1$和$r_2$存在公倍数，即$\exists m,n\in Z,mr_1=nr_2$，设$r_1=\frac{m_1}{n1},r_2=\frac{m2}{n2}$，那么有$(m_2n_1)r_1=m_1m_2=(m_1n_2)r_2$

   （可公度性的集合意义）辗转相截：两条线段$a,b$长度为有理数，用 $b$去截$a$，若剩下$c(0<c<b)$，则用$c$去截$b$，若剩下$d(0<d<c)$。则用$d$去截$c\cdots$必可经有限次相截刚好截完。

   设$a=\frac{m_{1}}{n_{1}},b=\frac{m_{2}}{n_{2}}$,则

   $a=m_{1}n_{2}\biggl(\frac{1}{n_{1}n_{2}}\biggr)=m_{1}n_{2}r\\b=m_{2}n_{1}\biggl(\frac{1}{n_{1}n_{2}}\biggr)=m_{2}n_{1}r$

   其中$r=\frac{1}{n_1n_2}$为$a,b$的一个公度。

2、无理数的性质

1. 正方形的边长与其对角线长不可公度：
   如图，设正方形边长为$1$，将边长与对角线辗转相截：在$AC$上截得$AE=AB$，过点$A$作$BF$的垂直平分线。有$\angle ABF\cong\angle AEF$，于是$BF=EF$，接下来即为小正方形$CEFG$的边长$EF$去截其对角线$FC$，这样可以无穷无尽地截下去，永远截不完......

2. 定义：不能表示成两个整数之比的数称为无理数。

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   例2：$\sqrt{2}$是无理数
   证明：（反证法）假设$\sqrt2=\frac mn$（$m,n$为互素的正整数），那么有$2n^{2}=m^{2}$，所以$m$是偶数，记$m=2k,k\in Z^+\Rightarrow n^2=2k^2\Rightarrow n$是偶数，与$m,n$互素矛盾。因此$\sqrt{2}$是无理数。

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   例3：证明：如果$n$不是完全平方数（等于某整数的平方的正整数），则$\sqrt{n}$为无理数。
   证明：（反证法）假设$\sqrt {n}=\frac pq( p, q\text{为互素的正整数})$，那么$nq^2=p^2$.
   因为$n$不是完全平方数，所以$\sqrt n=\frac pq$不是整数，存在$k\in Z^+$使得$k<\frac pq<k+1$，即$0<p-kq.<q$.
   考察 $p(p-kq)=p^2-kpq=nq^2-kpq=q(nq-kp)$，于是有$\frac{p}{q}=\frac{nq-kp}{p-kq}=\frac{p_1}{q_1}$.其中$q_1=p-kq<q\Rightarrow p_{1}<p$.也就是说可找到正整数 $p_1<p,q_1<q$,使得假设$\frac{p_1}{q_1}=\frac pq;$那么用$p_1,q_1$代替$p,q$可进行以上“操作”，又可以找到正整数$p_2<p_1,q_2<q_1$，使得假设 $\frac {p_1}{q_1}= \frac {p_2}{q_2}\cdot \ldots \ldots$
   这样的“操作”可以一 直进行下去，这是不可能的，因为$p,q$是有限的自然数。矛盾。
   从以上例子可以看到，无理数有无穷多个。

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​ 其实，无理数远不止这些$\sqrt n$.有理数与无理数统称为实数，实数布满了整个数轴。

四、代数数与超越数（实数范围内）

1. 代数数定义：如果$b$是某整系数多项式$a_nx^n+ a_{n- 1}x^{n- 1}+ \cdots + a_1x+ a_0$（其中$n$为正整数，$a_n\neq0$,$a_k$为整数，$k=1,2,3,\cdots,n$）的根，则称$b$为代数数。

​ 例如：
​ (1)任意有理数$\frac mn$为代数数，因为它是一次整系数多项式 $nx-m$ 的根。
​ (2)$\sqrt{2}$是代数数，因为它是二次整系数多项式$x^2-2$的根。

2. 代数数经加、减、乘、除（分母不为零）四则运算后仍为代数数。
3. 不是代数数的数称为超越数，例如$\pi,\rm{e}$是超越数。
4. 可以证明，当$a\neq0$为有理数时，$\sin a\pi,\cos a\pi$是代数数，而 $\sin a,\cos a$是超越数。

五、等势集与可列集

1. 定义：设$A,B$为两个集合，如果存在一个从$A$到$B$的一一对应映射(双射)，则称集合$A$与集合$B$等势，也称$A$与$B$是等势集。记作$A\sim B$.
2. 两个有限集合等势当且仅当两个集合的元素个数相等。
3. 空集只与空集自身等势。

4. 等势具有如下性质：

   (1)自反性：$A\sim A$.
   (2)对称性：若$A\sim B$,则$B\sim A$.
   (3)传递性：若$A\sim B, B\sim C$,则$A\sim C$.

例如：
全体正整数集$N^+=\{1,2,3,...\}$和全体偶数集$\{2,4,6,...\}$等势。可作双射$f(n)=2n,n=1,2,3,\cdots$
自然数集和全体整数集等势。可作双射$f(n)=\begin{cases}k,&n=2k\\-(k+1),&n=2k+1\end{cases},k=0,1,2,3,\cdots$

5. 定义：如果集合$A$与自然数集等势，则称集合$A$是可列的（或可数的）。对应之前所学：可数集。

   正整数集、整数集都是可列的，全体有理数集也是可列的。我们只要考虑全体有理数集中的元素是否可以排成一个队列，显然只要考虑正有理数的情形即可。我们以有理数（分数）的分母大小为序，写出所有正有理数如下：

   现从左上角开始，按箭头方向将所有的数排成队列(跳过前面已出现的数字
   $1,2,\frac12,3,\frac13,4,\frac32,\frac23,\frac14,5,\frac15,6,\cdots$，

   这样就把所有的正有理数排成队列了。如果我们将$0$排在第一位，然后将每个正有理数的相反数插入到自己的后面，那么就把全体有理数排成队列了，因此全体有理数集是可列的。

6. $[a,b]$上的实数与$[c,d]$上的实数是等势的。$(0,1)$上的实数与实数集$R$也是等式的。

7. 反证法证明全体实数是不可列的（无理数是不可列的），即证$(0,1)$上的实数是不可列的。
   假设$(0,1)$上的实数可列。
   我们用小数表示，可和自然数对应如下：

   $0\leftrightarrow0.\overline{a_1a_2a_3a_4a_5\cdots}$
   $1\leftrightarrow0.\overline{b_1b_2b_3b_4b_5\cdots}$
   $2\leftrightarrow0.\overline{c_1c_2c_3c_4c_5\cdots}$
   $3\leftrightarrow0.\overline{d_1d_2d_3d_4d_5\cdots}$
   $\vdots$

   现取$(0,1)$内一数$a=0.\overline{p_1p_2p_3p_4p_5\cdots}$，使得：$p_1\neq a_1,p_2\neq b_2,p_3\neq c_3,p_4\neq d_4,\cdots$（且$p_k\neq0,9$）这样，数$a$不在对应的队列中， 因为$a$和队列中的数至少有一位数字不同。矛盾。
   所以，$(0,1)$上的实数不可列。即全体实数（无理数）是不可列的。

8. 若集合$A,B$可列，那么集合$A\cup B$是可列的。
9. 现取无理数集的一个真子集：
   $W = \{ \sqrt {2}, 2\sqrt {2}, 3\sqrt {2}, 4\sqrt {2}, 5\sqrt {2},\dots \}$,显然它与有理数可一一对应，即与有理数集等势，所以说无理数此有理数多。
   另外可以证明：全体代数数集是可列的，全体超越数集是不可列的。