一、奥托循环（Otto Cycle）

1. 循环过程描述

奥托循环由四个过程组成（以理想气体为工质）：

1. $1 \rightarrow 2$：绝热压缩
2. $2 \rightarrow 3$：等容加热（燃烧过程，吸热$Q_\mathrm{in}$）
3. $3 \rightarrow 4$：绝热膨胀
4. $4 \rightarrow 1$：等容冷却（排气，放热$Q_\mathrm{out}$）

2、过程物理量变化与公式推导

（1）绝热过程（$1\rightarrow2$, $3\rightarrow4$）

绝热条件下，

$$ pV^\gamma = \mathrm{const} $$

$$ TV^{\gamma-1} = \mathrm{const} $$

其中$\gamma = C_p/C_v$。

设$V_1$为初始体积，$V_2$为压缩后体积，压缩比$r = V_1 / V_2$，则

$$ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = r^{\gamma-1} $$

同理，

$$ \frac{T_3}{T_4} = r^{\gamma-1} $$

（2）等容过程（$2\rightarrow3$, $4\rightarrow1$）

等容加热：

$$ Q_\mathrm{in} = mC_v (T_3 - T_2) $$

等容放热：

$$ Q_\mathrm{out} = mC_v (T_4 - T_1) $$

3、效率推导

热效率定义为

$$ \eta_\mathrm{Otto} = 1 - \frac{Q_\mathrm{out}}{Q_\mathrm{in}} $$

代入上式得到

$$ \eta_\mathrm{Otto} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} $$

利用绝热关系：

$$ T_2 = T_1 r^{\gamma-1} $$

$$ T_4 = T_3 / r^{\gamma-1} $$

代入得

$$ \eta_\mathrm{Otto} = 1 - \frac{T_3 / r^{\gamma-1} - T_1}{T_3 - T_1 r^{\gamma-1}} $$

若燃烧后温度远大于初温（$T_3 \gg T_1$），可近似为

$$ \eta_\mathrm{Otto} \approx 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} $$

4、物理量变化计算方法

• 温度：绝热过程由压缩比决定，等容过程突变。
• 压力：可用理想气体状态方程$pV = nRT$结合温度和体积变化计算。
• 体积：等容过程不变，绝热过程按压缩比变化。
• 做功/吸放热：等容过程吸放热，绝热过程为做功。

二、卡诺循环（Carnot Cycle）

1、循环过程描述

卡诺循环包含：

1. $1 \rightarrow 2$：等温膨胀（高温热源，温度$T_H$，吸热$Q_H$）
2. $2 \rightarrow 3$：绝热膨胀（温度降至$T_L$）
3. $3 \rightarrow 4$：等温压缩（低温热源，温度$T_L$，放热$Q_L$）
4. $4 \rightarrow 1$：绝热压缩（温度升至$T_H$）

2、过程物理量变化与公式推导

（1）等温过程（$1\rightarrow2$, $3\rightarrow4$）

等温膨胀吸热：

$$ Q_H = nRT_H \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) $$

等温压缩放热：

$$ Q_L = nRT_L \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right) $$

（2）绝热过程（$2\rightarrow3$, $4\rightarrow1$）

绝热过程满足

$$ T_H V_2^{\gamma-1} = T_L V_3^{\gamma-1} $$

$$ T_L V_4^{\gamma-1} = T_H V_1^{\gamma-1} $$

3、效率推导

循环净做功：

$$ W_\mathrm{net} = Q_H - |Q_L| $$

热效率定义为

$$ \eta_\mathrm{Carnot} = 1 - \frac{|Q_L|}{Q_H} $$

由体积与温度关系可得

$$ \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4} $$

所以

$$ \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \ln\left(\frac{V_3}{V_4}\right) $$

则

$$ \eta_\mathrm{Carnot} = 1 - \frac{T_L}{T_H} $$

4、物理量变化计算方法

• 温度：等温过程恒定，绝热过程变化。
• 压力、体积：理想气体状态方程结合过程类型推算。
• 做功/吸放热：等温过程有热量交换，绝热过程无热量交换。

三、两种循环的比较